前言：来做一道“看图说话”题

极限是高等数学中的一个基本概念，函数的极限很容易通过图象直观理解，图1表达的是当x趋向x0时，函数f(x)的极限是A。

                        图1 函数的极限

现在我们“看图说话”。不要看教材，就当自己没学过或者已经忘了教科书里关于“极限”的定义，你能否结合图1给“极限”下个定义？

先思考一会儿，写下一句尽可能准确又简练的话。好，下面我公布这道题的“标准答案”：

设函数f(x)在点x0的某个去心邻域内有定义，如果存在常数A，使得对于任意给定的正数ε（不管它多么小），总存在正数δ，对于满足0<|x-x0|<δ的一切x，都有|f(x)-A|<ε，那么常数A就称作f(x)当x→x0时的极限。

“去心邻域”、“任意给定的正数”、“存在正数”，还有两个不等式，“标准答案”里的这些“关键词”，你写出了几个？我相信我们绝大部分人几乎写不出来。这个答案不仅超越了我们的创造力，而且读和用都不太简练。按照“标准答案”里的规则，当函数f(x)面对常数A时，需要向“第三者”（给定的正数ε）确定正数δ存在；而“第三者”需要对两个不等式进行判定才能找到δ，只有这样f(x)才能确定A是自己在某处的极限。这个“标准答案”看似糟糕，但确实是我们今天教科书里“极限”的定义，俗称“ε-δ语言”。初学极限的概念会觉得它的直观意义简单明白，但是定义抽象繁琐。极限为什么要这样定义呢？这个定义从何而来？

数学教育家弗莱登塔尔曾说：“没有一种数学思想，是以它被发现时的那个样子公开发表出来的。一个问题被解决后，相应地发展成为一种形式化技巧，结果把求解过程丢在一边，使得火热的思考变成冰冷的美丽。”极限的概念也不例外，教科书上展现的定义和习题是“冰冷的美丽”和“形式化技巧”，而不是它被发现时的样子。想了解极限的定义背后“火热的思考”，需要借助这一概念发展的历史。

起源：古希腊的“穷竭法”和刘徽的“割圆术”

公元前五世纪，古希腊数学家就有了初步的极限思想。安提丰用圆内接多边形逼近圆，认为增加多边形的边数，内接正多边形最终会与圆重合。类似地，爱不里松用圆外切正多边形逼近圆。

欧多克索斯说：“对于两个不相等的量，若从较大量中减去大于其半的量，再从所余量中减去大于其半的量，继续重复这一步骤，则所余之量必小于原来较小的量。”他运用这种方法计算了大量关于面积和体积的问题，成果被欧几里得收录在《几何原本》中，作为主要的推理方法。为了比较两个圆的面积，欧几里得在每个圆中分别作内接正四边形、正八边形、正十六边形等等，并注明余下的部分分别小于圆面积的二分之一、四分之一、八分之一……由此证明出两圆面积之比等于半径平方之比。

后来阿基米德认为面积或体积可以细分为无限个极小的量再求和。古希腊哲学家阿那克西曼德认为“无限”是世界的本原，由于对“无限”的恐惧，古希腊人避免取极限，而是用“先逼近后归谬”的方法（归谬法和反证法类似）进行数学证明。这种方法被后来的学者称为“穷竭法”。

我国魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中提到了“割圆术”，思想与安提丰不谋而合：“割之弥细，所失弥少；割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”。割得越细，圆内接正多边形的面积就越接近圆面积。刘徽运用这种思想计算了圆的内接正3072边形的面积，得出圆周率为3.1416，是当时世界上最准确的数据。后来祖冲之用这种方法把圆周率的值精确到小数点后七位。这种对某个常值的计算力求接近真实值的做法也体现了极限的思想。

发展：“无穷小”的瓶颈

极限思想的起源虽然很早，但是一直停留在粗浅的描述上。在很长一段历史时期，数学只研究常量，无须对“极限”进行定义。到了16世纪，欧洲进入资本主义萌芽时期，生产和技术中出现了大量关于运动和变化的数学问题，例如求瞬时速度、曲线弧长、曲边形面积等等，当时的数学无法解决这些问题。

诗人蒲柏写过：“自然和自然的法则在黑夜中隐藏。上帝说，‘让牛顿去吧！’于是一切都被照亮。”在数学遇到困境的时候，17世纪牛顿来了，他提出了一种关于变量的运算法则。

以自由落体运动为例，按照常量数学的思想，路程的变化量△s与时间的变化量△t之比表示平均速度：

牛顿提出，当△t小得不能再小时，可以忽略不计，从而得到△s/△t=at0，就是物体在t0时刻的瞬时速度。

牛顿还用类似的方法推导了函数的“流数”（现称为“导数”），由此创立了微积分。事实证明这是解决实际问题的有效方法。可是牛顿的推导过程令人困惑：一方面，时间增量△t在不断减小，但还不是零；另一方面，只有△t等于零时，才是瞬时速度。那么增量究竟是不是零？如果是零，怎么能作为除数呢？如果不是零，怎么能把包含它的项去掉呢？这就是数学史上的“无穷小”悖论。

对于无穷小悖论，牛顿和与他同时代且独立创立微积分的莱布尼茨也无法心安理得。牛顿一直在纠缠这个问题，他先后对无穷小作过不同的解释。1669年他说“无穷小”是个很小很小的常量，1671年又说它是个趋于零的变量，1676年他甚至想抛弃这一概念。1693年他在最后一本关于微分的著作《曲线求积术》中否定了之前随意忽略含有“无穷小”的项的做法，关于瞬时速度的计算，他做了简短的说明：“有人反对说，趋近于零的量的最终比是不存在的，因为在这些量还没有趋近于零的时候，比值并不是最终的；而当它们等于零的时候，又什么都没有了……这里有一个极限，它是在运动终了时所能达到但不能超越的速度。” 在这里“极限”一词第一次被使用。牛顿意识到了“流数”不是两个零的商，而是两个无穷小量的商的极限。流数、无穷小、极限，这几个概念之间存在某种关系。然而，牛顿虽然用“极限”来解释流数的含义，但是没有把极限作为一个数学概念。牛顿在引入无穷小时，并没有基于极限的概念，更没有对极限进行定义。

莱布尼茨曾试图用与无穷小量成比例的有限量的差分来代替无穷小量，但是没有找到从有限量过渡到无穷小量的桥梁。后来他在回应批评者的信中表示，把无穷小理解成“要多小就有多小的量”就足够了，无穷小只是一个便于计算的工具。

微积分的应用结果经得起实践的检验，当时人们灵活运用着“无穷小”这个含糊的概念，将微积分视为“神秘”的事物。但是严谨的数学家不会放过推理过程中的漏洞，讲究逻辑的哲学家对不完善的理论也不买账。微积分在创立初期遭遇了很多攻击，其中英国大主教贝克莱的态度最为尖锐。1734年他在书里批判微积分是诡辩：在推导流数时，如果让增量消失，也就是让增量变成零，那么原来关于增量存在的假设也就不成立，而由这一假设引出的结果，即借助增量得到的表达式却必须保留，这种推理是站不住脚的。他称无穷小量是“消逝的量的鬼魂”；忽略含有无穷小的项的做法消除了“偷换假设”的错误，是“依靠双重错误得到了虽不科学却是正确的结果”。

作为神学家，贝克莱对微积分的攻击更多是出于对宗教的维护，但是微积分的思想确实不是无懈可击。无穷小在计算导数的过程中“呼之即来，挥之即去”，使导数、微分等概念不清晰。

完善：微积分的严密化和极限的公式化

微积分在实践中的有效性使其具有强大的生命力。17至18世纪，微积分并没有因为受到攻击而停滞或者消亡，而是有很多数学家致力于修补其理论上的缺陷。达朗贝尔等人提出将“极限”作为微积分的基础概念。达朗贝尔将极限定义为：一个变量趋于一个固定值，趋近程度小于任何给定量，且变量永远达不到固定量。这个定义的意思直观上是正确的，但只谈及了一个变量。“小于任何给定量”，有了一点我们今天所学的定义的影子，但是没有公式化。

19世纪法国数学家柯西在《代数分析教程》中将极限定义为：当一个变量相继取的值无限接近于一个固定值，最终与此固定值之差要多小就有多小，该值就称为所有其他值的极限。

然后柯西在极限的基础上给出了“无穷小”的定义：如果一个变量所取的一串数值无限地减小，以至小于给定的数，这个变量就叫无穷小，这种变量以零为极限。至此，“无穷小”的概念被澄清了：无穷小是一个以零为极限的变量，在变化过程中，其绝对值总能变到小于预先给定的任意小的正数。

与达朗贝尔的定义类似，柯西对极限的定义也只谈及了一个变量；细微的不同是，“相继”一词在某种程度上暗含了变量的连续性。虽然“无限接近”、“最终”、“要多小就有多小”等词语能够准确表达“逼近”的意思，但是这个定义仍然是描述性的，还没有公式化，也就无法用数学语言对变量的极限进行判断和推理。

在极限理论之外，在微积分严密化的进程中引发了实数理论的产生。变量是微积分的研究对象，变量都取实数值，可是人们发现对实数特别是无理数的认识仍然不清楚，这促使一些数学家关注无理数的问题。19世纪戴德金、康托尔、魏尔斯特拉斯等人各自建立了形式不同但实质等价的实数理论，本质上都是用有理数通过一定的方式对无理数进行严格定义，然后证明实数的连续性。我们今天在微积分课上学的“连续”、“邻域”的概念，都是严格基于实数理论。

根据德国数学家魏尔斯特拉斯的学生的课堂笔记，他讲道：“对于函数f(x)，如果能确定一个界限δ，使绝对值小于δ的所有h值，f(x+h)-f(x)小于可以小到人们意愿的任何程度的一个量ε，则称所给函数对应于变量的无穷小的改变具有无穷小的改变。”

这句话定语多，读起来有些拗口。其实这句话讲的就是连续函数的特点：当变量的改变为无穷小，函数的改变也是无穷小。也就是说，不管你想让f(x+h)和f(x)有“多么”接近，都可以找到一个以x为中心、以δ为半径的区间，只要x+h在这个区间里，f(x+h)和f(x)就有“那么”接近。

后来魏尔斯特拉斯用类似的方式给出了函数的极限的定义，就是我们今天学的ε-δ语言。极限的存在不依赖函数的连续，在可去间断点处，函数仍然存在极限，这就是定义中“去心邻域”的含义。魏尔斯特拉斯的定义不依赖运动或几何直观性，仅仅用实数和两个不等式就精准地表达了“无限接近”的意思。不等式中的ε具有任意性，可以按照我们的主观意愿设定为任意正数，ε越小，就意味着我们想要f(x)与A越接近。另一方面，δ对ε具有相应性，ε一经给出，δ的值就可以靠它和函数f(x)确定。但δ并不是唯一确定的，因为如果0<|x-x0|<δ成立，那么0<|x-x0|<kδ(0<k<1)也成立，也就意味着δ的值可以在一定范围内变化。极限的判断原则无关δ值的大小，关键是δ存在。

魏尔斯特拉斯用ε-δ语言为数学分析建立了坚实的基础。极限的定义实现了公式化，微积分的严密化基本完成。魏尔斯特拉斯被誉为“现代分析之父”。

四、启示：远未结束的结尾

极限的概念是迈向微积分的一个台阶，是联系常量数学和变量数学的桥梁。现在的微积分教材，是按“极限——无穷小——微积分”的顺序讲解的，事实上这几个概念确定的顺序正好相反，先是微积分的初步建立，后来准确定义了无穷小，最后才准确定义了极限。

极限思想虽然起源很早，但是在漫长的历史时期都没有发展。正如恩格斯所说“科学要归功于生产的，比生产要归功于科学的多很多”，微积分是在16世纪的社会生产和技术需要下催生的。科学发展的动力来自社会的技术需要，然而科学又不仅仅满足于在实际中好用。这就是微积分创立初期因为逻辑悖论遭受攻击的原因。

在微积分创立后的两个世纪里，极限思想的发展史，伴随着微积分理论从建立到完善。极限的定义的完善在于将自然语言公式化，逐渐抛弃直观性，这是从感性认识上升到理性认识的过程。这个过程不是凭一个人的聪明才智一蹴而就的，而是几个世纪众多数学家持续努力的结果。就像牛顿说“如果说我比别人看得更远些，那是因为我站在了巨人的肩上”。科学就是后人在前人的基础上继承和发展的。

“极限”一词本来是牛顿为了解释流数的含义提到的，后来数学家却用了更多的时间探求“极限”本身的定义。在微积分理论完善的过程中，还穿插了实数理论的建立。科学发展中“提出问题——解决问题”的模式往往不是直接的，而是波浪式前进，在解决一个问题的过程中，可能会遇到新的问题。

在17至19世纪，微积分是数学领域的重要问题，魏尔斯特拉斯的贡献使微积分有了严格的基础，关于微积分的故事结束了。20世纪初有数学家认为数学已经具备绝对的严密性，没想到不到两年又出现了关于集合论的数学危机。数学没有走到尽头，仍然具有生命力，数学的故事至今还远未结束……