在古希腊的奴隶社会，盛行“万物本原”的学说。这些学说中，阿那克西曼德（约公元前610~546）认为万物的基本元素是一种不具备任何规定性的特殊物质，这种物质不冷不热，非水非气，他把这种物质称为“无限”，这是最早出现的“无限”概念，但是对于“无限”具体指的什么，没有人能真正解释清楚，因此最开始的无穷就是以思辨的形式而非数学形式出现的，它主要是哲学家讨论的问题，例如时间和空间的无限性，物质的无限性等等。后来在数的概念出现以后，“无限”便被赋予了新的含义——它不是一种具体的物质，而是与“有限”对立的量的概念，自此“无限”成为了一个数学问题。

希腊奴隶制的繁荣也带动了思想的繁荣，安提丰（约公元前五世纪）提出用圆的内接正方形的变数不断加倍的方法可以无限逼近圆的面积，布赖森也提出用圆的内接与外切正多边形来逼近圆的面积，这些都是运用了无穷的思想思考数学问题，但是遗憾的是，这些人并没有进行真正的计算。

在我国的战国时期也产生了“无穷”的思想，《庄子》中“一尺之锤”便是一种潜无穷思想。三国时期刘徽注意到无穷进展能够完成，并把他的思想应用到了计算“弧田”的面积、“阳马”的体积以及开方运算。刘徽认为圆内接正六边形的面积随边数不断加倍而逐渐增加，但是永远都不会大于圆的面积，同时指出：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至不可割，则与圆合体而无所失矣。” 刘徽从单位圆的内接正六边形算起，算到正192边形，得出π.14。南北朝时期的祖冲之在刘徽工作的基础上已求得3.1415926<π<3.1415927这是无穷思想的应用，也是当时世界上计算π的最高成就。（割圆术在后文会有所证明）

上面的思想都是潜无穷的思想，而与潜无穷相对应的便是实无穷，《庄子》中说“至大无外谓之大一，至小无内谓之小一”，意思就是当大到没有边界的时候就叫“大一”，当小到没有内部的时候就叫“小一”。既是大到无外，就表示已经完成了的总体，所以 “大一”就是实无穷大；如果小到没有内部，表示分割已经穷尽，就是实无穷小。

在“实无穷小”的发展历史上，柏拉图（约公元前427-347）做出了巨大的贡献。柏拉图认为，“理念世界”是一个整体它能容纳一切,包罗万象,是唯一真实的存在；人们对现实世界的任何知识(包括数学知识)都是理念世界的组成部分。所以那种不能通过经验方法直接获得而要通过思维才能把握的实无限观念就是合理的。如果我们剔除柏拉图的唯心主义外壳而保留其合理内核，那么柏拉图作为实无穷论者是自然的。事实上,柏拉图的这种思想往往成为后来数学中实无穷的哲学根据。

在对无穷的认识上，亚里士多德（公元前384-322）指出，研究无穷同研究有穷一样有重要的意义。他指出：“既然研究自然是研究空间的量、运动和时间，其中的每一个必然不是无限就是有限的，因此所有凡是接触过这门自然的哲学家都会讨论过有过无穷的问题。”亚里士多德第一次明确将无穷分为实无穷和潜无穷。他认为前者为“此外全无”，后者为“此外永有”。他对实无穷较为排斥，认为“无限潜在地存在意思并不是说,它会在什么时候现实地具有独立的存在:它的潜在的存在,只是对知识而言。因为分割的过程永远不会告终,这件事实保证了这种活动潜在地存在,却并不保证无限独立地存在。”亚里士多德还认为，如果坚持潜无穷而否定实无穷，不会对数学造成任何困难，这对数学家的工作不会造成什么影响。

普罗克鲁斯（约410-485）在注释《几何原本》是注意到圆的直径把圆分成两个半圆，因圆的直径有无穷多，所以半圆的数目应当是两倍的无穷多。但是按照当时无穷思想，无穷应当是相等的，于是就产生了“一个无穷大等于两个无穷大”悖论，他于是就放弃了实无穷改为研究潜无穷。（此悖论将在后文进行证明）

随着欧洲文艺复兴的兴起，宗教神学的桎梏被打破，柏拉图的哲学受到人们的欢迎，因此柏拉图的实无穷理论得到了重视与应用。所以在资本主义上升时期,也是科学技术的迅速发展时期。科学技术的发展，直接涉及无穷的有两类问题:一类是所谓的“求积问题”，这类问题包括曲边图形的面积、曲面包围图形的体积、物体的重心以及液体的压力等问题的计算；另一类是“微分问题”,这类问题包括曲线上任一点的切线、变量的极值以及物体运动的速度等问题的计算。通过这两类问题的研究与解决，逐渐形成了后来数学中的积分和导数概念。

“求积问题”中阿基米德曾用“穷竭法”计算出了许多旋转体的体积，它在逻辑上无懈可击，但是这一方法相当繁琐，计算及其不便，因此荷兰力学家（1543-1620）对穷竭法进行了改造，取消了近似图形中的一个，还取消了反证法。与此同时，天文学家开普勒（1571-1630）提出了“同维无穷小法”，伽利略的学生瓦列利（1598-1647）和托里拆利（1608-1647）提出了“不可分元法”。这些理论的名称虽然不同，但是实际都放弃了严谨性而得到便利性。

“微分问题”除了计算变量的极值以外，集中在计算曲线上一点的切线这一根本问题上，对于这一问题，数学家提出了不同的方法。主要的有;笛卜尔(1590-1650)用“重根法”作切线,费尔马(1601-1665) 用元穷小作切线(他还把这个方法应用于求变量的极值),罗伯瓦尔(1602-1675)等借助力学中的运动合成速度作切线，以及以帕斯卡(1623-1662)和巴罗(1630-1677)为代表的利用“微分三角形”作切线等。这些方法的基本思想都是利用实无穷小。例如，当dx为无穷小时,微分三角形的“弧可以代替直线”。恩格斯非常重视这一思想,他曾指出，在dx的条件下把曲线看成直线是微积分的重要基础之一。

在两个世纪之后，终于在17世纪后半期产生了牛顿和莱布尼茨的微积分。他们二人的微积分的计算方法都是以实无穷小为基础的。在牛顿和莱布尼茨那里，作为微分学中心概念的“导数”，是两个实无穷小之商（dy/dx），因此导数又有“微商”；作为积分学的中心概念的“积分”，则是无穷多个实无穷小之和（∫dy），因此积分又有“求和计算”之称，由于微积分的初期以无穷小为基础，所以当时的微积分又称为“无穷小分析”，并有人把微积分形容为一支“无穷的交响乐”，牛顿和莱布尼茨你的微积分把对实无穷的应用推到空前的高峰，所以16、17世纪是实无穷的黄金时期。

以实无穷为基础的微积分改变了传统数学的面貌，成为这一时期“人类精神的最高胜利”。用无穷小作计算,在解决数学和科学技术的问题中获得惊人的成功,显示出强大的生命力。但是无穷小作为一个数学概念，在逻辑上却暴露出致命的缺点。因为人们在用它计算时自然地会问道: 无穷小到底是零还是非零之数？当时的情况是,只要用它搜解决数学与科学中的问题,且行之有效，人们拿来就用,至于逻辑困难问题，虽然在牛顿时代已经提了出来，但在当时既来不及解决，也无力解决。正如1743年达兰贝尔(1717-1783)所说，直到现在，人们“表现出更多关心的是扩大建筑，而不是在入口处张灯结彩；是把房子盖得更高些，而不是给基础补充适当的强度。这就是恩格斯所说的，“大多数人进行微分和积分，并不是由于他们懂得他们在做什么，而是出于单纯的相信，因为直到现在得出的结果总是正确的。”直到18世纪中期，人们仅限于用这一方法作计算，用以解决科学技术中的具体问题。虽然明明知道这一方法不够完善，也听到一些批评，但还顾不上给这一方法建立牢固的逻辑基础。随着新方法的确定以及在应用上日益广泛和深入，它的逻辑问题更加尖锐，如果不解决，不仅影啊到其他科学的发展，而且直接威胁微积分的生存。形势严峻！

微积分的历史也表明，当牛顿和莱布尼茨的无穷小在运算中出现“翻手为云,覆手为雨” 的情况下，人们自然地怀疑无穷小的真实性。英国大主教贝克莱(1684-1753)曾发表专著对牛顿的微积分进行全面的否定。比如他认为：牛顿的瞬时速度是“根本不可想象”的，加速度更是“隐晦的神秘物”，流数是“模糊和混乱”、“无理和荒谬”，无穷小是“逝去量的鬼魂”等等。既如此，那么建立在这些概念之上的微积分当然就是“空中楼阁”，结论也只能是把它从数学中“剪裁掉”。法国科学院的数学院士罗尔(1652-1719)也极力主张把微积分从数学中开除出去。神学家贝克莱彻底否定微积分是过分的，但他所指出的无穷小在计算中的悖论性质是存在的。于是产生了18 世纪微积分基础的危机。革命导师马克思也认为牛顿和莱布尼茨的微分方法是“变魔术”，是使用“暴力镇压”，并把他们的微分学称为“神秘的微分学”。当然贝克莱对微分的攻击同马克思对微积分的批判往质是不同的，前者企图根本否定微积分，为宗教神学辩护，后者则是批判的继承。

在无穷大方面，继普罗克鲁斯等发现悖论之后，伽利略也曾发现正整数的数目能同平方数的数目相等这一“部分等于全体”的悖论。顺便提出，18世纪的数学由于没有严格的逻辑基础，所以在无穷级数计算中也产生了许多荒谬的结果。例如：无穷数列1-1+1-1+……之和有人认为是O，有人认为是1，也有人认为是1/2，再如，18 世纪人们还得到如下奇怪的结果：

1-2+3-4+……/4，

……+1/x2+1/x+1+x+x2+……，

1+2+4+8+……=-1

等等，值得注意的是这些荒谬的结果竟然出现在像欧拉（1701-1783）这样一些大数学家的工作之中。看来无穷小，无穷大以及无穷级数这些无穷进入数学简直使数学乱了套。所以在18世纪，无穷仍然被视作数学的一个禁区，人们遇上它就会变得小心翼翼。有“数学家之王”之称的高斯（1777-1855）在给一位朋友的信中说：“我反对把一个无穷量当做实体，这在数学从来都是不允许的，无穷是一种说话方式，当人们确切的谈到极限时，是指某些壁纸可以任意地趋近于它，而另一些则允许没有界限的增加”。由于高四的权威地位，所以他的的意见几乎成了对实无穷的终审。牛顿时代受到重用的实无穷，高斯时代又将它抛弃。

实无穷可以被抛弃，但是牛顿和莱布尼茨所建立的一套的行之有效的方法是不能因噎废食的。为了鼓励人们对微积分基础的严格化做出努力，在拉格朗日（1736-1813）主持柏林科学院的工作期间，于1784年作出决定，悬赏对这一问题有重大贡献的数学家。最终获奖论文是西蒙·罗依里哀的《高等微积分原理初探》(1787)。该文回避了无穷小和实无穷大，而用牛顿后期和达兰贝尔的极限概念建立微积分体系。希尔伯特指出，极限概念“只是同潜无穷打交道”。由于罗依里哀的论文论述的不充分，所以没有产生应有的影响。

继罗依里哀之后，拉克鲁瓦(1765-1843)曾于1787年出版了专著《微分学和积分学论著》。该书的基调是潜无穷思想。1817年波尔查诺(1781-1848)发表了书名很长的著作：《关于方程在每两个给出相反结果的值之间，至少有一个实根的定理的纯粹解析的证明》，在这里，第一次用潜无穷思想对所提出的定理作出证明。如果说，通过拉克鲁瓦专著的一版再版，为潜无穷代替实无穷作了鸣锣开道的工作，那么，波尔查诺1817年的著作则是潜无穷正式进入数学殿堂的标志。但是潜无穷完全取代实无穷的工作是由柯西(1789-1857)完成的。

首先，柯西通过变量给出极限的定义：“当一个变量逐次所取的值无限地趋近一个定值，最终使变量的值和该定值之差要多小就多小，这个定值就叫做所有其他值的极限”。其次，柯西又把无穷小与无穷大同变量联系起来，通过变量的极限给出无穷小与无穷大的定义。他说：“当一个变量的数值这样地无限减小，使之收敛到极限0，那么人们就说这个变量成为无穷小”；对无穷大他说：“当变量的数值这样地无限增大，使该变量收敛到极限∞，那么该变量就成为无穷大”。柯西还给出高阶无穷小与高阶无穷大的定义。第三，柯西通过极限还给出函数在一点连续的定义，导数的定义、微分和高阶微分的定义、积分的定义以及无穷级数敛散性的定义等，这些定义都同今天的微积分中的定义没有什么区别。例如，柯西关于函数f(x)在区间[x0，X]上积分的定义是和式

当| xi-xi-1|无限减小时的极限，并用付立叶的积分符号表示为

柯西特别指出，符号∫不能理解为一个和式，而是这种形式和的极限。这样，可惜通过极限即前无情所建立的微积分体系就彻底排除可通知产打三个世纪之久的实无穷，为我们构建了今天通行的微积分体系，这个体系不仅保存了原来的实用性，而且在逻辑的严格性上比《几何原本》有过之而无不及。所以从18世纪末到19世纪末的一百年时间内，主要是数学的潜无穷时期。

19 世纪非欧几里得几何的诞生对数学思想产生重大影响。主要影响之一是改变了已往把直观作为判别数学真理的唯一标准，使人们进一步认识到逻辑严格性对数学的重要性.柯西的微积分是用极限思想构建起来的，但他只是以直观运动为模型对极限作定性的描述而不是定t 的描述。魏尔斯特拉斯(1815-1897)认为凭借直观的运动叙述极限概念并以其构建微积分不是真正的严格，仍显模糊。为了改变这一状况，他提出了同柯西的“动态”观点完全不同的“静态”观点。魏尔斯特拉斯按照静态观点，首先把变量x 解释成一个字母，该字母表示某个数集中的一个数。接着他又给出连续变量x的静态定义:如果对某数集中任一个x0和一系列无论怎样小的δi(i= 1,2,3,……n),在区间(x0-δi,x0+δi)内总有该数集中另外的值，称x为该数集中的连续变量.函数f(x)在x0点连续的定义是:如果对于任意的一个ε>0,都存在一个δ> 0。对于区间|x-x0|<δ内的所有x，不等式|f(x)-f(x0)|<0恒成立，就说f(x)在x 0处连续。在这一定义中用A代替f(x0)，A就是函数f(x)当x-x0的极限。这就是今天极限的“ε-δ”的叙述方法。这个方法是魏尔斯特拉斯1856年在柏林大学的一次讲演中首次提出来的。魏尔斯特拉斯关于极限的静态观点既是对柯西动态潜无穷的深化，也是对动态潜无穷的批判。

对潜无穷的局限性的认识，哲学家往往比数学家深刻，且走在数学家之前面。还在17世纪时，哲学家斯宾诺莎(1632-1677)认为潜无穷只是想象中的无穷,而“实体”(指整个自然界) 既是统一的，也是无限的，是真正的无穷。18世纪的康德(1724-1804)认为无穷进展式的潜无穷不是真正的无穷，而且是可怕的无穷。他，这种无穷就像“最远的世界总也还有一个更远的世界，无论回溯到多么远的过去，后面也总还有更远的过去，无论前进多么远的将来，前面也总还有一个更远的将来；想象穷于这样不可测度的遥远的前进，思想穷于这样不可测度的想象：像一个梦一样，一个人永远漫长地看不出还有多么远的向前走，看不到尽头，尽头就是摔了一跤或者是晕倒下去。”事实上晕倒的地方仍然不是无穷，而是有穷。所以康德认为潜无穷永远摆脱不了有穷的羁绊。

黑格尔(1770-1831)的“绝对观念”同柏拉图的“理念世界”和斯宾诺莎的“实体”一样，均属实无穷思想。所以在黑格尔的哲学中潜无穷受到了严厉的批判。黑格尔认为，潜无穷就想1+1+1+1+……一样，是一个“空漠的荒野”，它是全虚的，有的只是对有限的重复否定，而没有扬弃。因此黑格尔把这种无限贬称为“恶的无限”。他以时间和空间为例说明这种无限的贫乏和空虚。他说，“当我们谈到空间和时间的无限时，我们最初所想到的总是那时间的无限延长，空间的无限扩展。比如我们说，此时(现在)，于是我们便进而超出此时的限度，不断地向前或向后延长。同样，对空间的看法也是如此。人们先设定一个限度，于是超出了这个限度。然后人们又立一个限度，从而又一次超出这个限度，如此递进，以至无穷。凡此种种，除了表面上的变换外，没有别的了，这种变换从来没有离开有限事物的范围。假如人们以为踏进这种的无限就可从有限中解放出来，那么，事实上只不过是从逃遁中去求解放。但逃遁的人还不是白由的人。在逃遁中，他仍然受他所要逃避之物的限制。”

康德和黑格尔认为潜无穷没有摆脱有穷是有合理的成分的。黑格尔肯定实无穷也是对的，但是他把潜无穷看成是有穷的简单重复，没有扬弃，则是过头的。恩格斯指出，1+1+1+1+1+1+……“并不是重复，而是发展，是前进或后退，因而它成为运动的必然形式” 。黑格尔虽然欣赏牛顿两个消失量之比的概念，并用他的辩证法给这个概念作了哲学解释，但是隐晦艰涩，仅限于他的哲学圈子，可接受性很低。数学并没有因此而改变原来探求的方向。黑格尔其所以对潜无穷作严厉的批判，看来是由于在他的晚年没有研究正在蓬勃发展的极限理论。他在无穷问题上脱离了当时的数学实际，所以19世纪的数学家对黑格尔关于潜无穷的批判不予理会。

人类对数的认识总是从有穷到无穷的。肯定有穷的无穷进展而产生了潜无穷概念，潜无穷是对一个个有穷的否定。无穷进展的完成而产生了实无穷概念，实无穷又是对潜无穷的否定。但是说实无穷是对潜无穷的否定，不等于潜无穷没有实际意义，正如潜无穷虽是对有穷的否定不能说有穷没有实际意义一样。以计算收敛数列的极限为例，它的极限值的求出正是哲学中“从有限中找到无限”这一辩证思想在数学中的具体运用。

黑格尔把无穷分为“恶的无穷”（潜无穷）和“真实无穷”（实无穷）两种，泽通亚里士多德一样，但是对待两种无穷的态度上两人恰好相反，黑格尔看到潜无穷的局限性病肯定实无穷是有意义的。无穷的历史表明，承认潜无穷的逻辑结果必须承认实无穷，因为潜无穷的无穷多个值必须有一个从中取值的集合，这个集合就是实无穷。

实无穷的概念虽然由来已久，但是在数学史上皆因对他用“一一对应”方法使产生同“部分小于全体”这一传统仪式性矛盾而又将其抛弃。承认实无穷同承认“部分小于整体”不可兼得。前边提到的波尔查诺也是一位实无穷的探索者。他在数学研究中已经认识到，只承认潜无穷而否定实无穷是不全面的，所以也在晚年所写的《无穷的悖论》（写于1848年，1851年发表)这一长篇论文中，力图认明实无穷无论是在数学中还是在哲学中的存在都是合理的。可惜他仍然在“部分小于全体”的观念下退却下来，并没有坚持到底。

无穷同有穷本来是矛盾的两个方面。二者有本质的不同。“部分小于全体”是有穷的重要性质，所以不能要求无穷也应具有这一性质. 比较清楚地意识到这一点的是狄德金(1831-1916)与康托尔(1845-1918)。狄德金首次用一一对应的方法对无穷和有穷作了严格的区分: 如果一个集合至少有一个与其一一对应的真子集，则称为无穷集合(这种无穷又叫超穷)；不是无穷集合的称为有穷集合。自然数、奇数、平方数和实数等都是无穷集合康托尔的工作又进了一步。他用大量的事实说明，数学离不开实无穷，数学要取得进展，必须肯定实无穷的合理性。他坚持了一一对应的方法，并用此方法证明了一切代数数是可数的，任何有限区间上的实数是不可数的以及一切超越数也是不可数的等重要结论。当他证明了实数的基数大于自然数的基数以后，自然地想到有无穷大的集合问题。最后他证明了与原来的设想完全相反的结论：n（n≥2）维空间的点能同直线上的点一一对应。

既然n（n≥2）维空间的点不是最大的无穷，进一步的问题是：有无更大的无穷？若有又是什么? 他先用他的序数理论构造了基数依次为ℵ1、ℵ2、ℵ3……的超穷集合；继而又用所谓的“康托尔定理”构成了基数依次的为ℵ0、2ℵ0、2C的超穷集合。康托尔说，“为了科学的发展，引入这种无穷的新数对于研究是需要的或者是不可少的。”至此，康托尔已用两种方法构成两组无穷基数序列。进一步的问题是等式C=ℵ1是否成立，或者说ℵ0与C之间是否还有不可数的无穷集合？康托尔虽然经过努力，但没有证出肯定或否定的结果，今天的数学仍把C=ℵ1称为连续统假设。

康托尔构造的超穷基数序列，显示了人类理性对现代数学发展的重要意义，丰富了人们对无穷的认识，比如：自然数是可数的，实数是不可数的，可数无穷是最小的无穷，不存在最大的无穷等等。今天已经有了表示任意大的数字的符号，可惜客观世界还投有那么大的数字让它去表达。这是人的思维能动性的伟大胜利。

康托尔和狄德金的工作曾受到许多数学家的肯定，比如，希尔伯特指出，康托尔的超穷理论是“数学思想的最惊人的产物”。实无穷小的命运又如何呢？前边提到，在牛顿时代它受到重用，高斯时代又将它抛弃。在柯西的微积分理论中，无穷小被定义为极限为零之变量，即它不是一个数，而是一个极限为零之变化过程，作为数的无穷小从此在数学中销声匿迹。然而，事过一百年，实无穷小又时来运转。

1960年，德国犹太人A·罗宾逊(1918-1974)在一次报告中提出了无穷大和无穷小作为“数”成数学的框架。1961年，他在阿姆斯特丹皇家科学院学报上发表题为《非标准分析》一文，该文使无穷小作为“数”又堂而皇之的进入数学殿堂。罗宾逊的基本思想是：把传统的实数集合R 扩大为集合R*，在R*中传统的实数称为“标准数”，而每个实数的适当邻域内聚集着许多“无穷小”，称为“非标准数”，非标准数同标准数的关系犹如物质结构中的电子围绕原子核一样，非标准数的任何倍数仍为非标准数，即在R * 内，数的阿基米德性质不能成立。他用这一思想构建了一个同现行的“标准分析”(即数学分析)完全平行的一套数学理论，这套理论就是他的“非标准分析”。

罗宾逊的学说曾受到一些著名学者的赞扬，并预言这套理论将成为“未来的数学分析”。于是在短短的时期内，相继出现非标准群论、非标准泛函分析、非标准拓扑等。有人曾用此思想写了微积分教科书，经过试教据说效果良好，似有代替传统微积分之势。但是，就在这一学说受到一些人赞扬之同时，有更多的人不以为然，认为它并没有给数学带来任何新的东西，它本身并不简明，认为是“多此一举”。不管对非标准分析如何评价，也不管它的发展前途如何，有一点是肯定的，这就是当实无穷小获得新的严格的逻辑定义之后，它在数学中仍有用武之地。所以非标准分析的产生，使人们对实无穷小的合理性将刮目相看。

以无穷集合与超穷数为研究对象的集合论本世纪以来情况如何呢? 它的产主与发展可谓“时运不齐，命途多舛”。它在19 世纪末的初创时期就遇到相当大的阻力，对它的研究被人斥之为“浪费时间”，是“毫无意义”的。以后因取得重大成就而逐渐被肯定，且给予高度的评价。但好景不长，不久集合论相继产生悖论，特别是罗素悖论的产生震动了西方数学界和哲学界。。以这一悖论为标志产生了数学基础的严重危机。由于悖论同实无穷有直接关系，所以实无穷在数学中的合理性问题再次提上日程. 这时期的数学家从各自对数学本质的理解出发，对无穷采取了不同的立场。以布劳维(1881-1966)和外尔(1885-1955)为代表的直觉主义者持潜无穷立场，否认实无穷，反对康托尔的超穷集合。希尔伯特曾对实无穷在数学中的应用感到担心，但他出于方法论的考虑，认为可以把实无穷作为“理想元素”加入到数学中去，只要这种理想元素的加入不导致错误就行. 现代形式主义者继承了希尔伯特的无穷观，认为无穷集合客观上是不存在的，它们只是一种有用的虚构。以贝尔纳斯(1888-1977)和哥德尔(1906-1976)为代表的柏拉图主义者则从数学概念实在论出发，承认无穷的客观性及其在数学中的合理性。不同学派关于无穷的分歧现在依然存在。如果说潜无穷和实无穷在本世纪以前的时期是“各领风骚数百年”的时期，那末本世纪以来则是它们各显身手的时期；如果说无穷在数学的历史上曾经被视为禁区，那么现在禁区已经开放，但却是现在数学基础研究的一个热点。

而同时牛顿由无穷所得到的微积分的思想也得到了非常大的发展，在各行各业有着非常大的应用，当然，对我们学生的挑战也是非常大的（脱离苦海的笔者一脸坏笑）。

微积分学的发展与应用几乎影响了现代生活的所有领域。它与大部分科学分支关系密切，包括精算、计算机、统计、工程、商业、医药、人口统计，特别是物理学;经济学亦经常会用到微积分学。几乎所有现代技术，如建筑、航空等都以微积分学作为基本数学工具。微积分使得数学可以在变量和常量之间互相转化，让我们可以已知一种方式时推导出来另一种方式。

物理学大量应用微积分;所有经典力学和电磁学都与微积分有密切联系。已知密度的物体质量，动摩擦力，保守力场的总能量都可用微积分来计算.例如，将微积分应用到牛顿第二定律中:史料一般将导数称为“变化率”。物体动量的变化率等于向物体以同一方向所施的力。今天常用的表达方式是，它包换了微分，因为加速度是速度的导数，或是位置矢量的二阶导数。已知物体的加速度，我们就可以得出它的路径。

麦克斯韦尔的电磁学和爱因斯坦的广义相对论都应用了微分。化学使用微积分来计算反应速率，放射性衰退。生物学用微积分来计算种群动态，输入繁殖和死亡率来模拟种群改变。

微积分可以与其他数学分支交叉混合。例如，混合线性代数来求得值域中一组数列的“最佳”线性近似。它也可以用在概率论中来确定由假设密度方程产生的连续随机变量的概率。在解析几何对方程图像的研究中，微积分可以求得最大值、最小值、斜率、凹度、拐点等。

格林公式连接了一个封闭曲线上的线积分与一个边界为且平面区域为的双重积分。它被设计为求积仪工具，用以量度不规则的平面面积。例如，它可以在设计时计算不规则的花瓣床、游泳池的面积。

在医疗领域，微积分可以计算血管最优支角，将血流最大化。通过药物在体内的衰退数据，微积分可以推导出服用量。在核医学中，它可以为治疗肿瘤建立放射输送模型。 在经济学中，微积分可以通过计算边际成本和边际利润来确定最大收益。

微积分也被用于寻找方程的近似值;实践中，它用于解微分方程，计算相关的应用题，如牛顿法、定点循环、线性近似等。比如，宇宙飞船利用欧拉方法来求得零重力环境下的近似曲线。