在无穷的发展史上，部分与整体的关系是人们十分纠结的。在历史上承认实无穷同承认“部分小于整体”不可兼得。但是对于无穷大，也许有一个理论会让你感到大吃一惊——部分与整体可能是相等的！这里你可能就要反驳我了，这个完全就是不可能的嘛！古代的数学家们也是这样认为的。拿宇宙作为一个例子的话，我们知道宇宙现在仍然在无限增大，那我们也许就能认为宇宙是无限大，那我总不能说宇宙的一半和整个宇宙一样大吧？这里你又犯了一个错误，将无穷大变得实物化，那必然会出错的，宇宙并不能看成无限大，它是有一定的大小的，即使仍然在不断扩大。

我们先举一个比较简单的例子——奇数的个数等于偶数的个数，偶数的个数等于整数的个数！

这时你也许又会反驳，刚才不是证明了奇数的数量一定是和偶数相等的吗？我们都知道奇数和偶数加起来便是整数，那很显然奇数与偶数各自的数量是整数的一半。那怎么可能会有这样的关系呢？

我们不应该只想到奇数与偶数的一一对应关系，因为还会有另外的一种对应关系，当我们将所有的整数乘2时，我们发现得到的居然全部是偶数，而将这些偶数又减1后，得到的全部是奇数。

这样你就惊奇的发现：偶数的个数等于奇数的个数，还等于整数的个数！部分与整体居然是相等的！

另外还有一个不可思议的例子：无论长短，线段上的点的数目永远是相等的。这就有点烧脑了，因为我们知道线段上的点我们看不到，数不清，很难通过一般的思维找到对应关系，但办法总是有的：

假设有两条不一样长的线段AC和AB，始终会有直线平行于BC交AB与AC于两个点，这两个点便具有一一对应的关系，也就是说长度不同的线段AB与AC上具有相同数量的整数点。

我们甚至可以证明更加神奇的观点：直线上的几何点数与平面上的几何点数相同。这也是整体与部分的关系。我们先比较一条长1厘米的线段上几何点的个数与面积为1平方厘米的正方形点的个数。首先假设一个点与线段一个端点的距离为0.456988厘米，那么我们将奇数位和偶数位的数字提取出来形成两个数，分别为0.468和0.598，以正方形的一个端点为原点建立直角坐标系，正方形在第一象限内，那么坐标为（0.468,0.598）的点就在正方形内，这时线段上的几何点就与正方形上的几何点建立了以一对应关系，线段上的几何点的个数便与正方形上点的个数相等了，那么直线与平面上的点的个数就相等了。

同理，一个正方形上的点与一个立方体上的几何点的个数也是相同的，只不过这次就比较麻烦了，因为要先证明正方体内的几何点的数目和线段上的几何点数目相等。我们还是假设存在一条1厘米的线段和1立方厘米的正方体，假设一个点离线段的一个端点距离为0.456789123厘米，那么我们将小数点后的数字分成三份，如第1、4、7位为一组，第2、5、8位为一组，第3、6、9位为一组，则可得到三个数字：0.471、0.582、0.693，那么以正方体的一个顶点为原点建立立体直角坐标系，正方体在第一象限，那么就有点（0.471，0.582，0.693）在正方体内，这样线段上的点就与立方体内的点建立了一一对应关系，那么线段上的几何点就与立方体内的几何点数量就相等了，因为正方形的几何点与线段上的几何点数目相等，那么正方形内的几何点与立方体内的几何点数量相等。

我们再说一个例子，我们说一个圆拥有无数条半径，那么当我们将圆沿着一条直径分开之后，这两个半圆仍然拥有无数条半径，那么我们也就可以说，这两个半圆的半径的数目与原来的整圆的半径数目是一样的，那么部分等于全体的结论也就得以证明了。

同时我们还可以举一反三，那么我说一个正方形内有无数个几何点，当我将正方形一分为二时，所分成的两个长方形内部的几何点的数目也就与原来的正方形相等，部分等于整体也就得以证明。

那我们可以幻想下，当我们生产一件商品的时候，当我们计划并真正生产无穷大个时，我们就可以说我们已经完成了计划，我们还可以说我们已经超额完成计划，超额多少倍都可以！当然这只是玩笑话了！

看到这里是不是有点懵了呢？也许这就是科学的魅力吧，当你沉迷于平时的生活经验或者是习惯思维时，科学总是突然给你一个激灵，居然还有这样的存在！因为科学就在于观察与思考。